Здравствуйте! Приложение "Заметки" в телефонах Xiaomi отлично синхронизируется c облачным хранилищем Mi Cloud. Но что значит "полностью остановившийся"? Ваш телефон хотя бы включается? В каком он состоянии?
Если вы пользовались облачным хранилищем, то скорее всего ваши заметки сохранены. Это можно проверить, зайдя под своим Mi аккаунтом на сайт
https://i.mi.com.
Жду от вас подробности в комментариях на этой странице.